إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[1010-1021-1]⎡⎢⎣1010−1021−1⎤⎥⎦
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 33 هي المصفوفة المربعة 3×33×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة AA التي تساوي [1010-1021-1].
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]-λI3)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I3 التي تساوي [100010001].
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]-λ[100010001])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]-λ[100010001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([1010-1021-1]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ0+01+00+0-1-λ0+02+01+0-1-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ01+00+0-1-λ0+02+01+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ010+0-1-λ0+02+01+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ0+02+01+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.4
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ02+01+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.5
أضف 2 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ021+0-1-λ]
خطوة 1.4.3.6
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ021-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ021-1-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ010-1-λ021-1-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 2 by its cofactor and add.
خطوة 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
خطوة 1.5.1.3
The minor for a21 is the determinant with row 2 and column 1 deleted.
|011-1-λ|
خطوة 1.5.1.4
Multiply element a21 by its cofactor.
0|011-1-λ|
خطوة 1.5.1.5
The minor for a22 is the determinant with row 2 and column 2 deleted.
|1-λ12-1-λ|
خطوة 1.5.1.6
Multiply element a22 by its cofactor.
(-1-λ)|1-λ12-1-λ|
خطوة 1.5.1.7
The minor for a23 is the determinant with row 2 and column 3 deleted.
|1-λ021|
خطوة 1.5.1.8
Multiply element a23 by its cofactor.
0|1-λ021|
خطوة 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=0|011-1-λ|+(-1-λ)|1-λ12-1-λ|+0|1-λ021|
p(λ)=0|011-1-λ|+(-1-λ)|1-λ12-1-λ|+0|1-λ021|
خطوة 1.5.2
اضرب 0 في |011-1-λ|.
p(λ)=0+(-1-λ)|1-λ12-1-λ|+0|1-λ021|
خطوة 1.5.3
اضرب 0 في |1-λ021|.
p(λ)=0+(-1-λ)|1-λ12-1-λ|+0
خطوة 1.5.4
احسِب قيمة |1-λ12-1-λ|.
خطوة 1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+(-1-λ)((1-λ)(-1-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.1
وسّع (1-λ)(-1-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.4.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+(-1-λ)(1(-1-λ)-λ(-1-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+(-1-λ)(1⋅-1+1(-λ)-λ(-1-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=0+(-1-λ)(1⋅-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅1)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(1⋅-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2
اضرب -λ في 1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3
اضرب -λ⋅-1.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.1
اضرب -1 في -1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+1λ-λ(-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3.2
اضرب λ في 1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-λ(-λ)-2⋅1)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-λ(-λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-1⋅-1λ2-2⋅1)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ-1⋅-1λ2-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ+1λ2-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ+λ2-2⋅1)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(-1-λ+λ+λ2-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.2
أضف -λ وλ.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+0+λ2-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.3
أضف -1 و0.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+λ2-2⋅1)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+λ2-2⋅1)+0
خطوة 1.5.4.2.1.3
اضرب -2 في 1.
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+λ2-2)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(-1+λ2-2)+0
خطوة 1.5.4.2.2
اطرح 2 من -1.
p(λ)=0+(-1-λ)(λ2-3)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(λ2-3)+0
p(λ)=0+(-1-λ)(λ2-3)+0
خطوة 1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.5.1
جمّع الحدود المتعاكسة في 0+(-1-λ)(λ2-3)+0.
خطوة 1.5.5.1.1
أضف 0 و(-1-λ)(λ2-3).
p(λ)=(-1-λ)(λ2-3)+0
خطوة 1.5.5.1.2
أضف (-1-λ)(λ2-3) و0.
p(λ)=(-1-λ)(λ2-3)
p(λ)=(-1-λ)(λ2-3)
خطوة 1.5.5.2
وسّع (-1-λ)(λ2-3) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.5.2.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=-1(λ2-3)-λ(λ2-3)
خطوة 1.5.5.2.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=-1λ2-1⋅-3-λ(λ2-3)
خطوة 1.5.5.2.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=-1λ2-1⋅-3-λ⋅λ2-λ⋅-3
p(λ)=-1λ2-1⋅-3-λ⋅λ2-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.3.1
أعِد كتابة -1λ2 بالصيغة -λ2.
p(λ)=-λ2-1⋅-3-λ⋅λ2-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.2
اضرب -1 في -3.
p(λ)=-λ2+3-λ⋅λ2-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.3
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.3.1
انقُل λ2.
p(λ)=-λ2+3-(λ2λ)-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.3.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.5.5.3.3.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=-λ2+3-(λ2λ1)-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.3.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=-λ2+3-λ2+1-λ⋅-3
p(λ)=-λ2+3-λ2+1-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.3.3
أضف 2 و1.
p(λ)=-λ2+3-λ3-λ⋅-3
p(λ)=-λ2+3-λ3-λ⋅-3
خطوة 1.5.5.3.4
اضرب -3 في -1.
p(λ)=-λ2+3-λ3+3λ
p(λ)=-λ2+3-λ3+3λ
خطوة 1.5.5.4
انقُل 3.
p(λ)=-λ2-λ3+3λ+3
خطوة 1.5.5.5
أعِد ترتيب -λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3-λ2+3λ+3
p(λ)=-λ3-λ2+3λ+3
p(λ)=-λ3-λ2+3λ+3
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3-λ2+3λ+3=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.1
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
خطوة 1.7.1.1.1
جمّع أول حدين وآخر حدين.
(-λ3-λ2)+3λ+3=0
خطوة 1.7.1.1.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
λ2(-λ-1)-3(-λ-1)=0
λ2(-λ-1)-3(-λ-1)=0
خطوة 1.7.1.2
حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، -λ-1.
(-λ-1)(λ2-3)=0
(-λ-1)(λ2-3)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
-λ-1=0
λ2-3=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة -λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة -λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
-λ-1=0
خطوة 1.7.3.2
أوجِد قيمة λ في -λ-1=0.
خطوة 1.7.3.2.1
أضف 1 إلى كلا المتعادلين.
-λ=1
خطوة 1.7.3.2.2
اقسِم كل حد في -λ=1 على -1 وبسّط.
خطوة 1.7.3.2.2.1
اقسِم كل حد في -λ=1 على -1.
-λ-1=1-1
خطوة 1.7.3.2.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 1.7.3.2.2.2.1
قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.
λ1=1-1
خطوة 1.7.3.2.2.2.2
اقسِم λ على 1.
λ=1-1
λ=1-1
خطوة 1.7.3.2.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 1.7.3.2.2.3.1
اقسِم 1 على -1.
λ=-1
λ=-1
λ=-1
λ=-1
λ=-1
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ2-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ2-3 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ2-3=0
خطوة 1.7.4.2
أوجِد قيمة λ في λ2-3=0.
خطوة 1.7.4.2.1
أضف 3 إلى كلا المتعادلين.
λ2=3
خطوة 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√3
خطوة 1.7.4.2.3
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
خطوة 1.7.4.2.3.1
أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ ± لإيجاد الحل الأول.
λ=√3
خطوة 1.7.4.2.3.2
بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ ± لإيجاد الحل الثاني.
λ=-√3
خطوة 1.7.4.2.3.3
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
λ=√3,-√3
λ=√3,-√3
λ=√3,-√3
λ=√3,-√3
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (-λ-1)(λ2-3)=0 صحيحة.
λ=-1,√3,-√3
λ=-1,√3,-√3
λ=-1,√3,-√3
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1010-1021-1]+[100010001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+10+01+00+0-1+10+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.1
أضف 1 و1.
[20+01+00+0-1+10+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.2
أضف 0 و0.
[201+00+0-1+10+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.3
أضف 1 و0.
[2010+0-1+10+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.4
أضف 0 و0.
[2010-1+10+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.5
أضف -1 و1.
[201000+02+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.6
أضف 0 و0.
[2010002+01+0-1+1]
خطوة 3.2.2.7
أضف 2 و0.
[20100021+0-1+1]
خطوة 3.2.2.8
أضف 1 و0.
[20100021-1+1]
خطوة 3.2.2.9
أضف -1 و1.
[201000210]
[201000210]
[201000210]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=-1.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[201000002100]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 12 to make the entry at 1,1 a 1.
[2202120200002100]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1012000002100]
[1012000002100]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[1012000002-2⋅11-2⋅00-2(12)0-2⋅0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R3.
[10120000001-10]
[10120000001-10]
خطوة 3.3.2.3
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,2.
[1012001-100000]
[1012001-100000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+12z=0
y-z=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[-z2zz]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[-1211]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{z[-1211]|z∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-1211]}
{[-1211]}
{[-1211]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1010-1021-1]-√3[100010001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب -√3 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1010-1021-1]+[-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -1 في 1.
[1010-1021-1]+[-√3-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√30√3-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√30-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√30-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√300√3-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√300-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√300-√3⋅0-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√3000√3-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√3000-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√3000-√3⋅1-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.5
اضرب -1 في 1.
[1010-1021-1]+[-√3000-√3-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.6
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√3000-√30√3-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.6.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√3000-√30-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√3000-√30-√3⋅0-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.7
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√3000-√300√3-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.7.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√3000-√300-√3⋅0-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√3000-√300-√3⋅0-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.8
اضرب -√3⋅0.
خطوة 4.2.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000√3-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.8.2
اضرب 0 في √3.
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000-√3⋅1]
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000-√3⋅1]
خطوة 4.2.1.2.9
اضرب -1 في 1.
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000-√3]
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000-√3]
[1010-1021-1]+[-√3000-√3000-√3]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1-√30+01+00+0-1-√30+02+01+0-1-√3]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
أضف 0 و0.
[1-√301+00+0-1-√30+02+01+0-1-√3]
خطوة 4.2.3.2
أضف 1 و0.
[1-√3010+0-1-√30+02+01+0-1-√3]
خطوة 4.2.3.3
أضف 0 و0.
[1-√3010-1-√30+02+01+0-1-√3]
خطوة 4.2.3.4
أضف 0 و0.
[1-√3010-1-√302+01+0-1-√3]
خطوة 4.2.3.5
أضف 2 و0.
[1-√3010-1-√3021+0-1-√3]
خطوة 4.2.3.6
أضف 1 و0.
[1-√3010-1-√3021-1-√3]
[1-√3010-1-√3021-1-√3]
[1-√3010-1-√3021-1-√3]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=√3.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1-√30100-1-√30021-1-√30]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by 11-√3 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 11-√3 to make the entry at 1,1 a 1.
[1-√31-√301-√311-√301-√30-1-√30021-1-√30]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[10-1+√3200-1-√30021-1-√30]
[10-1+√3200-1-√30021-1-√30]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[10-1+√3200-1-√3002-2⋅11-2⋅0-1-√3-2(-1+√32)0-2⋅0]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R3.
[10-1+√3200-1-√3000100]
[10-1+√3200-1-√3000100]
خطوة 4.3.2.3
Multiply each element of R2 by 1-1-√3 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 4.3.2.3.1
Multiply each element of R2 by 1-1-√3 to make the entry at 2,2 a 1.
[10-1+√3200-1-√3-1-√3-1-√30-1-√30-1-√30100]
خطوة 4.3.2.3.2
بسّط R2.
[10-1+√32001000100]
[10-1+√32001000100]
خطوة 4.3.2.4
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 4.3.2.4.1
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[10-1+√32001000-01-10-00-0]
خطوة 4.3.2.4.2
بسّط R3.
[10-1+√32001000000]
[10-1+√32001000000]
[10-1+√32001000000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1+√32z=0
y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[z2+z√320z]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[12+√3201]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{z[12+√3201]|z∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[12+√3201]}
{[12+√3201]}
{[12+√3201]}
خطوة 5
خطوة 5.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([1010-1021-1]+√3[100010001])
خطوة 5.2
بسّط.
خطوة 5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 5.2.1.1
اضرب √3 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[1010-1021-1]+[√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 5.2.1.2.1
اضرب √3 في 1.
[1010-1021-1]+[√3√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.2
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√30√3⋅0√3⋅0√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.3
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√300√3⋅0√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.4
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√3000√3⋅1√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.5
اضرب √3 في 1.
[1010-1021-1]+[√3000√3√3⋅0√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.6
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√3000√30√3⋅0√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.7
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√3000√300√3⋅0√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.8
اضرب √3 في 0.
[1010-1021-1]+[√3000√3000√3⋅1]
خطوة 5.2.1.2.9
اضرب √3 في 1.
[1010-1021-1]+[√3000√3000√3]
[1010-1021-1]+[√3000√3000√3]
[1010-1021-1]+[√3000√3000√3]
خطوة 5.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1+√30+01+00+0-1+√30+02+01+0-1+√3]
خطوة 5.2.3
Simplify each element.
خطوة 5.2.3.1
أضف 0 و0.
[1+√301+00+0-1+√30+02+01+0-1+√3]
خطوة 5.2.3.2
أضف 1 و0.
[1+√3010+0-1+√30+02+01+0-1+√3]
خطوة 5.2.3.3
أضف 0 و0.
[1+√3010-1+√30+02+01+0-1+√3]
خطوة 5.2.3.4
أضف 0 و0.
[1+√3010-1+√302+01+0-1+√3]
خطوة 5.2.3.5
أضف 2 و0.
[1+√3010-1+√3021+0-1+√3]
خطوة 5.2.3.6
أضف 1 و0.
[1+√3010-1+√3021-1+√3]
[1+√3010-1+√3021-1+√3]
[1+√3010-1+√3021-1+√3]
خطوة 5.3
Find the null space when λ=-√3.
خطوة 5.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1+√30100-1+√30021-1+√30]
خطوة 5.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 5.3.2.1
Multiply each element of R1 by 11+√3 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 5.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 11+√3 to make the entry at 1,1 a 1.
[1+√31+√301+√311+√301+√30-1+√30021-1+√30]
خطوة 5.3.2.1.2
بسّط R1.
[10-1-√3200-1+√30021-1+√30]
[10-1-√3200-1+√30021-1+√30]
خطوة 5.3.2.2
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 5.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3-2R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[10-1-√3200-1+√3002-2⋅11-2⋅0-1+√3-2(-1-√32)0-2⋅0]
خطوة 5.3.2.2.2
بسّط R3.
[10-1-√3200-1+√3000100]
[10-1-√3200-1+√3000100]
خطوة 5.3.2.3
Multiply each element of R2 by 1-1+√3 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 5.3.2.3.1
Multiply each element of R2 by 1-1+√3 to make the entry at 2,2 a 1.
[10-1-√3200-1+√3-1+√3-1+√30-1+√30-1+√30100]
خطوة 5.3.2.3.2
بسّط R2.
[10-1-√32001000100]
[10-1-√32001000100]
خطوة 5.3.2.4
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
خطوة 5.3.2.4.1
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[10-1-√32001000-01-10-00-0]
خطوة 5.3.2.4.2
بسّط R3.
[10-1-√32001000000]
[10-1-√32001000000]
[10-1-√32001000000]
خطوة 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-1-√32z=0
y=0
0=0
خطوة 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[z2-z√320z]
خطوة 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[12-√3201]
خطوة 5.3.6
Write as a solution set.
{z[12-√3201]|z∈R}
خطوة 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[12-√3201]}
{[12-√3201]}
{[12-√3201]}
خطوة 6
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[-1211],[12+√3201],[12-√3201]}